ความหมายของเซต
เซต หมายถึง การเขียนอธิบายถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ สิ่งที่รวมอยู่ภายในเซต เรียกว่า สมาชิกของเซต เซตที่จะนำมาศึกษาต้องเป็นเซตที่สามารถตัดสิ้นใจได้อย่างแน่นอนว่าสิ่งใดเป็นสมาชิกของเซตนั้น
เซตที่รวมเอาทุกสิ่งทุกอย่างที่ต้องการศึกษา เพื่อใช้เป็นขอบเขตสำหรับการพิจารณาเซตใหม่ เรียกเซตนี่ว่า เอกภพสัมพันธ์ ( Relative Universe )
วิธีการเขียนอธิบายเซต
การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่และอักษรตัวพิมพ์เล็กของภาษาอังกฤษ เช่น A, B, C, D หรือ a, b, c, d แทนสมาชิกของเซต วิธีการเขียนเซตสามารถเขียนได้ 2 วิธี คือ
1.วิธีแจกแจงสมาชิก
สามารถทำได้โดยการเขียนสมาชิกของเซต ทั้งหมดไว้ระหว่างเครื่องหมายปีกกาเปิดและปีกกาปิด และทำการแยกสมาชิกแต่ล่ะตัวด้วยเครื่องหมายจุลภาค (,) เช่น A เป็นเซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ สามารถเขียนได้ดังนี้
A = { วันจันทร์, วันอังคาร, วันพุธ, วันพฤหัส, วันศุกร์, วันเสาร์, วันอาทิตย์ }
ถ้าจำนวนสมาชิกของเซตมีจำนวนมาก สามารถเขียนได้โดยการเขียนสมาชิก 3 ตัวแรก แล้วเขียนสมาชิกตัวถัดไปด้วยจุด 3 จุด จากนั้นเขียนสมาชิกตัวสุดท้ายของเซต เช่น B เป็นเซตของจำนวนนับที่ไม่เกิน 50 สามารถเขียนได้ดังนี้
B = {1,2,3,...,50}
2.วิธีบอกเงื่อนไขของสมาชิก
สามรถทำได้โดยเขียนตัวแปรแทนสมาชิกและเขียนบอกคุณสมบัติของตัวแปรที่ใช้บอกคุณสมบัติของสมาชิกภายในเซตนั้น โดยเขียนตัวแปร ระหว่างเครื่องหมายปีกเปิดและปีกกาปิด
เช่น
A เป็นเซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ สามารถเขียนได้ดังนี้
A = { x êx เป็นวันในหนึ่งสัปดาห์ }
B เป็นเซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 50 สามารถเขียนได้ดังนี้
B = { x êx เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 50 }
C เป็นเซตของจำนวนเต็มคู่ที่มีค่ามากกว่า 20
A = { x êx เป็นวันในหนึ่งสัปดาห์ }
B เป็นเซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 50 สามารถเขียนได้ดังนี้
B = { x êx เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 50 }
C เป็นเซตของจำนวนเต็มคู่ที่มีค่ามากกว่า 20
C = { x êx เป็นจำนวนเต็มคู่ที่มีค่ามากกว่า 20 }
สมาชิกของเซต
วิธีการเขียนบอกข้อมูลใดเป็นสมาชิกของเซต สามารถเขียนโดยใช้สัญญาลักษณ์ “Δ แทนความหมาย “เป็นสมาชิกของ” และใช้สัญญาลักษณ์ “Ï” แทนความหมาย “ไม่เป็นสมาชิกของ”
เช่น
A = { 2,3,4,5} จากเซต A จะได้
2 เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนได้ดังนี้ 2 Î A
4 เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนได้ดังนี้ 4 Î A
6 ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนได้ดังนี้ 6 ÏA
B = {2,3,{4}} จากเซต B จะได้
2 เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนได้ดังนี้ 2 Î B
{4} เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนได้ดังนี้ {4} Î B
4 ไม่เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนได้ดังนี้ 4 Ï B
การเท่ากันของเซต
เซตสองเซตที่มีจำนวนสมาชิกที่เหมือนกัน โดยไม่คำนึงถึงระดับของสมาชิกของเซตทั้งสอง สัญลักษณ์ที่ใช้แสดงความเท่ากันของเซต ใช้เครื่องหมายเท่ากับ “ = ” และสัญลักษณ์ที่ใช้แสดงความไม่เท่ากันของเซต ใช้เครื่องหมายไม่เท่ากับ “ ≠ ”
ตัวอย่างเช่น
A = {w, x, y, z} และ B = {y, z, w, x}
เซต A และเซต B มีสมาชิกที่เหมือนกันทุกตัวแม้ว่าลำดับของสมาชิกจะไม่เหมือนกันถือว่าเซตทั้งสองเป็นเซตที่เท่ากัน สามารถเขียนได้ดังนี้ A = B
แบบฝึกหัด
เซตว่าง
เซตว่าง (Null Set หรือ Emply) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกของเซตหรือมีจำนวนสมาชิกเท่ากับศูนย์ สัญลักษณ์ที่ใช้สำหรับเซตว่าง คือ หรือ { } ตัวอย่างเช่น
A = {x | x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่าศูนย์ } เนื่องจากไม่มีจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์
B = {x | x เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 10 และน้อยกว่า 5 } เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็มใดที่มากกว่า 10 และน้อยกว่า 5 ในขณะเดียวกัน
จำนวนสมาชิกของเซตว่างมีค่าเท่ากับศูนย์
เซตย่อย
เมื่อเซต A และเซต B เป็นเซตใด ๆ แล้วเซต A จะเป็นเซตย่อย (Sub Set) ของ B เมื่อมีสมาชิกเซต A ทุกตัวเป็นสมาชิกของเซต B สัญลักษณ์สำหรับบอกว่าเป็นเซตย่อย คือ “ ถ้าเซต A เป็นเซตย่อยของ B สามารถเขียนสัญลักษณ์ได้ดังนี้ A B
A = {a,b,c} และ B = {d,c,b,a}
สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B ดังนั้นเซต A เป็นเซตย่อยของเซต B สามารถเขียนได้ดังนี้ A B
A = {x}, B = {y,x,z,}, C = {x,y,z} และ D = {x,z} จากเซต A , เซต B , เซต C และเซต D สามารถเขียนอธิบายได้ดังนี้ เซตว่างเป็นเซตย่อยของทุกเซต
Ø เซตย่อยแท้
เมื่อเซต A และเซต B คือ เซตใด ๆ เซต A จะเป็นเซตย่อยแท้ของเซต B เมื่อเซต A เป็นเซตย่อยของเซต B และเซต A ต้องไม่เท่ากับเซต B
การหาเซตย่อยของเซต
ถ้าเซต A เป็นเซตจำกัดที่มีจำนวนสมาชิกอยู่ทั้งหมด n ตัว จำนวนเซตย่อยของเซต A มีทั้งหมด 2 ตัว และเซตว่างจะเป็นเซตย่อยของทุกเซต
Ø เซตกำลัง
เซตกำลัง (Power Set) ถ้าเซต A คือเซตใด ๆ เซตกำลังของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นเซตย่ยทั้งหมดของเซต A การเขียนสัญลักษณ์สำหรับแทนเซตกำลังของ A สามารถเขียนได้ดังนี้ P(A)
เซตจำกัดและเซตอนันต์
เซตจำกัด คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนเต็มบวกที่ทราบจำนวนของสมาชิกที่แน่นอนหรือมีค่าเท่ากับศูนย์
เซตของวันว่างในหนึ่งสัปดาห์
เซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 100
A = {0,2,4,…,50}
เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ หรือไม่เป็นเซตจำกัด ตัวอย่างเช่น
A = {1,2,3,…}
B = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}
การดำเนินการระหว่างเซต
การดำเนินการระหว่างเซตเป็นวิธีการสร้างเซตใหม่ขึ้นมาจากเซตที่มีอยู่ การดำเนินการระหว่างเซตมี 4 วิธี คือ
1. ผลผนวก (Union)
2. ผลตัด (Intersection)
3. ส่วนเติมเต็ม (Complement)
4. ผลต่าง (Difference)
แบบฝึกหัด
1.ข้อใดคือความหมายของเซตที่ถูกต้องที่สุด
ก. การกำหนดค่าสิ่งต่าง ๆ ที่ต้องการจะศึกษา
ข. การบ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ที่ต้องการจะศึกษา
ค. การกำหนดค่าตัวเลขของตัวให้เป็นค่าที่ต้องการ
ง. การตั้งค่าเริ่มต้นสำหรับการทำงาน
2.การเขียนด้วยเซต A เมื่อ A เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 10 สามารถเขียนได้ดังนี้
ก. A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
ข. A = {1,2,3,…,10}
ค. A = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 10}
ง. ถูกทุกข้อ
3.จากเขียนอธิบายเซต B = {x | x เป็นจำนวนเต็มคู่ที่น้อยกว่า 12 } สามารถเขียนเซต B ได้ตรงกับข้อใด
ก. B = {1,2,3,…,12}
ข. B = {2,4,6,…,12}
ค. B = {0,2,4,…,10}
ง. B = {2,4,6,…,10}
4.จากการเขียนอธิบายเซต B {x | x เป็นจำนวนเต็มคู่ที่น้อยกว่า 12} เป็นวิธีการเขียนอธิบายสมาชิกของเซต B ด้วยวิธีการใด
ก. วิธีแจกแจงสมาชิก
ข. วิธีบอกเงื่อนไขของสมาชิก
ค. วิธีอธิบายสมาชิก
ง. วิธีบอกจำนวนสมาชิก
5.เมื่อเซต A = {1,3,5,7,9,} ดังนั้น 5 เป็นสมาชิกของเซต A สามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ตรงกับข้อใด
ก. 5 Ï A
ข. 5 A
ค. 5 Î A
ง. 5 ⊂ A
6.เมื่อเซต A = {1,3,5,7,9,} ค่าของ |A| มีค่าเท่ากับข้อใด
ก. 5
ข. 9
ค. 20
ง. 25
7.เมื่อเซต A = {x | x เป็นจำนวนเต็มคู่ที่น้อยกว่า 12} ค่าของ |A| เท่ากับเท่าใด
ก. 12
ข. 11
ค. 5
ง. 4
8.เมื่อเซต A และเซต B คือเซตใด ๆ เซต A และเซต B ในข้อใดมีค่าเท่ากัน
ก. A = {w, x, y, z}, B = {w, x, y, z}
ข. A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 2, 1}
ค. A = { x | x คือสระของภาษาอังกฤษ}, B = {a, e, i, o, u}
ง. เท่ากันทุกข้อ
9.เมื่อเซต A เท่ากับ {w, x, y, z} เซตในข้อใดไม่เป็นเซตย่อย
ก. B = {z, y, x, w}
ข. C = {x, y, z}
ค. D = {x, y}
ง. E = {y, x, w}
10.เซตในข้อใดคือเซตว่าง
ก. A = { x | x เป็นจำนวนเต็มที่น้อยกว่าศูนย์}
ข. B = { x | x เป็นชื่อของเดือนใน 1 ปี}
ค. C = { x | x เป็นจำนวนเต็มที่น้อยกว่า 5 และมากกว่า 8}
ง. D = { x | x เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 5 และน้อยกว่า 8}
เฉลย
1. ข.
2. ค.
3. ง.
4. ข.
5. ค.
6. ก.
7. ค.
8. ง.
9. ก.
10. ค.
